递推数列存在极限的证明与极限值求解思路与典型题分析(一)——单调有界原理

【注】：公式显示不全时请在公式上左右滑动完整显示

递推数列极限存在性的证明与极限值的求解是高等数学数列极限的一个重要内容，也是各类高等数学相关内容考试的一个重点。下面我们通过具体例题分析与讨论的方式，来介绍验证递推数列极限存在的思路与过程，以及极限值的求解方法。

首先是第一种方法：直接借助单调有界原理来验证数列极限的存在性，然后基于数列极限的运算性质，借助递推公式来求递推数列的极限。

例[1997数学一]：设

证明：(1) 存在；

(2) 级数收敛.

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【分析】：这是97年研究生入学考试数学一的一个大题。该题的结论分为两部分，第一部分是证明递推数列极限存在；第二部分是验证由数列的项构成的一个常值级数收敛。

递推数列极限存在通常思路

在高等数学中，验证递推数列极限存在一般首先考虑的方法应该是单调有界原理，或者称为单调有界准则，即

• 单调递增有上界的数列必有极限
• 单调递减有下界的数列必有极限

要使用这个准则来验证数列极限的存在性，必须解决两个问题，并且二者缺一不可。即判定数列的单调性和有界性。一般我们习惯于先判定数列的有界性，并且有时候单调性的验证可能还需要有界性的结论。

对于数列有界性的判定，常用方法有不等式方法和数学归纳法。一般我们首先考虑不等式方法，如果不方便使用不等式方法，再考虑数学归纳法。其中不等式方法一般基于算术-几何平均值不等式：

等号当且仅当时成立.

比如，通过分析、考察这个题目中递推关系式

的特征，容易发现，右边的括号里面求和的两项乘积等于1，并且所有项都为正数且不等于，所以由算术-几何平均值不等式可以得到

由此可得数列有下界.

对于数列单调性的验证则一般首先考虑的是数学归纳法：

第一步：当，由递推关系式，计算得到

即；

第二步：假设时，有成立；

第三步：当时，要验证，常用的方法有两项相减法或相除法，即验证或者就可以了.

比如，用相减法：则能够变换的条件只有递推关系式，能够使用的结论则是时的结论. 于是由递推关系式并且的结论，有

所以递推数列单调递减，即结论(1)成立.

设，并对递推关系式两端取极限，借助数列极限的性质与运算法则，可得

解关于的方程，可得或(舍去).

【注】：在一般有多个结论需要验证的问题中，前面的结论一般是验证后面结论的基础，有时候后面需要验证的结论也可能会给验证前面的结论给出一定的启示。

判断常值级数的收敛性常用思路与方法

首先判断级的一般项是不是趋于0(级数收敛的必要条件)。这个数列收敛，所以由极限的运算法则

即级数的一般项

然后，判定级数是否为正项级数，由于数列单调递减，，所以级数为正项级数. 因此，可以使用正项级数的判定方法，比如比值判别法、根值判别法或比较判别法等.

• 判定方法一：比值判别法尝试判定

由于这里的项不包含次方项，所以首先考虑比值判别法，借助数列的递推关系式，于是有

由(1)计算得到的极限值，对上式两端取极限，可知上面比式的极限等于0。因此，由比值判别法可知级数收敛(比值判别法、根值判别法 中极限值, 判定级数收敛； ，判定级数发散；，方法失败，不确定).

• 判定方法二：比较判别法尝试判定

比较判别法的关键是要找到一个用于比较的级数，选择的依据是：证明收敛，找一个大的收敛级数；证明发散，找一个小的发散级数。所以，我们这里要找一个收敛的大的级数。通常这样的级数的寻求方法是通过变换原级数的项，对其进行适当的放大的方法来获得。

比如这里的级数，我们改写一下它的通项，并由(1)中的结论，所以有

因此，只要证明级数收敛就可以了。这应该是学习过程中非常熟悉的一个级数，将它展开，有

容易看到，它的前项部分和为

由于极限存在，所以部分和数列收敛，所以由比较审敛法可以判定原级数收敛.

【注】：以上就是这个研究生入学考试试题的分析与讨论过程，这个过程主要分析了判断递推数列极限存在和判定数值级数收敛的一般思路与方法，具体解题过程与步骤自己整理、完善，从而进一步加深对相关思路、方法与过程的理解.

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